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●第４４回　第３章・力線の理論（その12）

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今回は、平面波を題材にして、力線の理論の式から、マックスウェル方程式を導
いてみます。

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33．前回の補足
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本題に入る前に、前回述べた（１・１・ａ）～（１・２・ｃ）式について、補足
説明しておきます。

たとえば、（１・１・ａ）式の右辺の第一項に、-vby・Bz という項があります
が、この vby は vbzy に等しいと言えます。
なぜなら、もとの磁力線の速度（のｙ成分）と、それを各成分に分解した磁力線
の速度（のｙ成分）は等しいからです。
右辺第二項についても同様で、これらのことから（１・１・ａ）式は、

　Ex = -vbzy・Bz + vbyz・By　　　　　　　（１・１・a'）

とすることができます。
他の式についても同じく、

　Ey = -vbxz・Bx + vbzx・Bz　　　　　　　（１・１・b'）

　Ez = -vbyx・By + vbxy・Bx　　　　　　　（１・１・c'）

　Hx = vdzy・Dz - vdyz・Dy　　　　　　　 （１・２・a'）

　Hy = vdxz・Dx - vdzx・Dz　　　　　　　 （１・２・b'）

　Hz = vdyx・Dy - vdxy・Dx　　　　　　　 （１・２・c'）

とすることができます。

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34．平面波
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さて、それでは、本題に入りましょう。

今、ｘ方向に進む平面波（の電磁波）を考えます。
また、簡単のために、空間の誘電率や透磁率は、全方向均一とします。

すると、ｘ方向の電場や磁場は０となるので、

　Ex = 0

　Hx = 0

　Dx = ε・Ex = 0

　Hx = μ・Hx = 0

また、ｙ方向の力線がｚ方向に運動したり、ｚ方向の力線がｙ方向に運動したり
すると、電磁誘導や磁電誘導により、ｘ方向の電磁場が発生してしまうことにな
ってしまうので、これらの運動速度は０としなければなりません。
したがって、

　vbzy = 0

　vbyz = 0

　vdzy = 0

　vdyz = 0

となります。

これらを、電磁誘導の式（（１・１・a'）～（１・１・c'）式）と、磁電誘導の
式（（１・２・a'）～（１・２・c'）式）と、力線の連続の式（（３・６・１）
～（３・６・６）式→第４１回参照）とに、それぞれ代入すると、

　Ey = vbzx・Bz　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （３・７・１）

　Ez = -vbyx・By　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３・７・２）

　Hy = -vdzx・Dz　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３・７・３）

　Hz = vdyx・Dy　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （３・７・４）

　( ∂ Hz / ∂t ) ＝ - ( ∂( Hz・vbzx ) / ∂x )　　　　 （３・７・５）

　( ∂ Hy / ∂t ) ＝ - ( ∂( Hy・vbyx ) / ∂x )　　　　 （３・７・６）

　( ∂ Ey / ∂t ) ＝ - ( ∂( Ey・vdyx ) / ∂x )　　　　 （３・７・７）

　( ∂ Ez / ∂t ) ＝ - ( ∂( Ez・vdzx ) / ∂x )　　　　 （３・７・８）

という８本の式が得られます。

さて、Bz = μ・Hz ですから、（３・７・１）式より、

　( Ey / μ) = vbzx・Hz

これを（３・７・５）式に代入すると、

　　　( ∂ Hz / ∂t ) ＝ - ( ∂( Ey / μ) / ∂x )

　∴　( ∂ Hz / ∂t ) ＝ - ( ∂ Ey / ∂x ) / μ

　∴　( ∂ Ey / ∂x ) ＝ - μ・( ∂ Hz / ∂t )　　　　　（３・８・１）

となります。
同様にして、

　　　( ∂ Ez / ∂x ) ＝ μ・( ∂ Hy / ∂t )　　　　　　（３・８・２）

　　　( ∂ Hy / ∂x ) ＝ ε・( ∂ Ez / ∂t )　　　　　　（３・８・３）

　　　( ∂ Hz / ∂x ) ＝ - ε・( ∂ Ey / ∂t )　　　　　（３・８・４）

が得られます。

こうして得られた４本の式（（３・８・１）～（３・８・４）式）は、実は、下
記のマックスウェル方程式から導かれる平面波の式と、全く同じなのです。

　rot {E} = - ∂{B} / ∂t　　　　　　　　（２・１）

　rot {H} = ∂{D} / ∂t　　　　　　　　　（２・２ａ）

つまり、この二式に、平面波の条件を代入してやれば、同じ結果が得られるので
す。
したがって、（３・８・１）～（３・８・４）式を解けば、電磁波を表す波動方
程式が得られ、当然、電磁波の解も得られることになるわけです。

かくして、マックスウェル方程式で表される現象が、力線の理論の式から導かれ
たことになります。
つまり、これは、力線の理論の式からマックスウェル方程式を導いたのと同じこ
とと言えます。

以上のことから、電磁気現象を記述するより基本的な式は、マックスウェル方程
式ではなく、力線の理論の式であることが、おわかりいただけたと思います。

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