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　Ｎ┃→　　　　　　　　　　仮想力線電磁気学
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●第４３回　第３章・力線の理論（その11）

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当メールマガジンを御購読いただき、誠にありがとうございます。

今回は、数学に関する話をします。
具体的に言うと、ベクトルの外積の話です。
力線の理論における電磁誘導や磁電誘導の式に出てくるので、この機会に、簡単
ながら説明しておきたいと思います。

今回も、ホームページに図を掲載いたしました。
メルマガ中には、該当するホームページのＵＲＬを記してあります。

なお、一部、数式の記述で絵文字を用いておりますので、等幅フォントで御覧下
さい。

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32．外積について
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ベクトルには二種類のかけ算があります。
一つは内積、もう一つは外積です。

内積については、御存知の方も多いかと思います。
今、二つのベクトル、

　{a} = ( ax, ay, az )

　{b} = ( bx, by, bz )

があったとすると、これらの内積は、

　{a}・{b} = ax・bx + ay・by + az・bz

となります。
あるいは、ベクトルのなす角をθ(rad)とすると、

　{a}・{b} = |{a}|・|{b}|・cosθ

となります。（ちなみに、||はベクトルの大きさを表します。）
いずれにせよ、演算結果は同じで、スカラーとなります。
このため、内積は、スカラー積とも呼ばれます。

これに対し、外積の演算結果はベクトルとなるため、ベクトル積とも呼ばれてい
ます。
一般に、外積は、『×』を用いて、

　{c} = {a}×{b}

のように表されます。
この演算（外積）によって求まるベクトル{c}とは、次のようなベクトルです。
下記のホームページの図を見ながら、以下の説明をお読み下さい。
→ 43az.htm

まず、二つのベクトル（ {a}と{b} ）を二辺とする平行四辺形を考えます。
そして、この平行四辺形の面積を求めます。
ベクトル{c}の大きさは、この面積に等しく、

　|{c}| = |{a}|・|{b}|・|sinθ|

となります。

次に、ベクトル{c}の向きですが、これは、ベクトル{a}からベクトル{b}の方に
右ねじを回したときに、右ねじが進む向きとなります。
お気付きのように、ベクトル{c}の向きは、ベクトル{a}とベクトル{b}の両方に
対して垂直になります。（力線の理論における電磁誘導や磁電誘導の考え方の記
述にちょうどいいことがわかるでしょう。）

注意しなければならないのは、交換の法則が成り立たないことで、

　{a}×{b} = -{b}×{a}

という具合に、符号、すなわち、求まるベクトルの向きが逆になります。

以上が、外積という演算の定義と特徴です。

さて、外積の計算を、成分の形で記述すると、以下のようになります。

　{c} = ( cx, cy, cz )

とすると、

　cx = ay・bz - az・by

　cy = az・bx - ax・bz

　cz = ax・by - ay・bx

となります。

また、ｘ、ｙ、ｚ方向の単位ベクトルを{i}、{j}、{k}とすると、

　{a}×{b} = ( ay・bz - az・by )・{i}
　　　　　　　+ ( az・bx - ax・bz )・{j}
　　　　　　　+ ( ax・by - ay・bx )・{k}

あるいは、

　　　　　　 │{i} {j} {k} │
　{a}×{b} = │ ax　ay　az │
　　　　　　 │ bx　by　bz │

とも記述されます。

ちなみに、力線の理論における電磁誘導や磁電誘導の式、

　{E} = -{vb}×{B}　　　　　　　　　　　 （１・１）

　{H} = {vd}×{D}　　　　　　　　　　　　（１・２）

を成分で示すと、下記のようになります。

　Ex = -vby・Bz + vbz・By　　　　　　　　（１・１・ａ）

　Ey = -vbz・Bx + vbx・Bz　　　　　　　　（１・１・ｂ）

　Ez = -vbx・By + vby・Bx　　　　　　　　（１・１・ｃ）

　Hx = vdy・Dz - vdz・Dy　　　　　　　　 （１・２・ａ）

　Hy = vdz・Dx - vdx・Dz　　　　　　　　 （１・２・ｂ）

　Hz = vdx・Dy - vdy・Dx　　　　　　　　 （１・２・ｃ）

以上で、外積の計算はおわかりいただけたと思います。
次回は、平面波の電磁波を題材にして、力線の理論の式から、マックスウェル方
程式を導いてみようと思います。

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