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　Ｎ┃→　　　　　　　　　　仮想力線電磁気学
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●第４１回　第３章・力線の理論（その９）

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前回に引き続き、力線の理論からマックスウェル方程式を導く話をします。
今回も『力線の連続の式』について説明します。
図（絵文字）があるので、等幅フォントで御覧下さい。

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28．式の一般化
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前回は、ｚ軸方向の磁力線に関する連続の式について説明しました。
今回は、ｘ軸方向とｙ軸方向の磁力線についても考えてみましょう。

今回は下図のような直方体の微小領域を考えます。

　　　　　　ｙ
　　　　　　↑
　　　　　　│　E ＿＿_F
　　　　　　│A ／  B／|
　　　　　　│ |￣￣|　|
　　　　　　│ |　　|／G
　　　　　　│D ￣￣C
　　　　　　┼─────→ｘ
　　　　  ／
　　　  ／
　　　└
　　ｚ

絵文字の限界ゆえ、やや不正確な図になっていること、および、裏側（三本の線
と点Ｈ）が描かれていないことをお許し下さい。
なお、各点の座標は以下の通りとします。

　A ( x , y + dy , z + dz )
　B ( x + dx , y + dy , z + dz )
　C ( x + dx , y , z + dz )
　D ( x , y , z + dz )
　E ( x , y + dy , z )
　F ( x + dx , y + dy , z )
　G ( x + dx , y , z )
　H ( x , y , z )

この微小領域に出入りする磁力線の本数について考えるわけです。

試しに、前回の復習を兼ねて、ｚ軸方向の磁力線について考えてみましょう。
この場合、面AEHDと面BFGC、及び、面ABFEと面DCGHとから単位時間あたりに入っ
てくる磁力線の本数と、微小領域ABCDEFGH内の磁力線の本数の単位時間あたりに
おける増加量とが等しいことを考えればよいのです。
とはいえ、磁力線が出入りするのが『線』から『面』になったことと、領域が『
平面（長方形）』から『立体（直方体）』になったことを除けば、前回の場合と
同じです。
したがって、dzが微小であることを考え合わせると、前回と同じ考え方が成り立
ちます。
よって、（３・５）式が、そのまま成り立ちます。

　( ∂ Hz / ∂t ) ＝ - ( ∂( Hz・vbzx ) / ∂x )
　　　　　　　　　　　 - ( ∂( Hz・vbzy ) / ∂y )

話の都合上、この式を、改めて（３・６・３）式とします。

さて、ｘ軸方向やｙ軸方向の磁力線についても、同様な考え方が成り立ちます。
結果だけを記すと、

　( ∂ Hx / ∂t ) ＝ - ( ∂( Hx・vbxy ) / ∂y )
　　　　　　　　　　　 - ( ∂( Hx・vbxz ) / ∂z )

　( ∂ Hy / ∂t ) ＝ - ( ∂( Hy・vbyz ) / ∂z )
　　　　　　　　　　　 - ( ∂( Hy・vbyx ) / ∂x )

となります。
これらを、それぞれ順に（３・６・１）式、（３・６・２）式とします。
ちなみに、Hxは磁界のｘ軸成分、vbxyはｘ軸方向の磁力線のｙ軸方向への運動速
度、vbxzはｘ軸方向の磁力線のｚ軸方向への運動速度、Hyは磁界のｙ軸成分、vb
yzはｙ軸方向の磁力線のｚ軸方向への運動速度、vbyxはｙ軸方向の磁力線のｘ軸
方向への運動速度、となります。

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29．電気力線の連続の式
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電気力線についても、磁力線と全くおなじ考え方が成り立ちます。
こちらも結果だけを記すと、

　( ∂ Ex / ∂t ) ＝ - ( ∂( Ex・vdxy ) / ∂y )
　　　　　　　　　　　 - ( ∂( Ex・vdxz ) / ∂z )

　( ∂ Ey / ∂t ) ＝ - ( ∂( Ey・vdyz ) / ∂z )
　　　　　　　　　　　 - ( ∂( Ey・vdyx ) / ∂x )

　( ∂ Ez / ∂t ) ＝ - ( ∂( Ez・vdzx ) / ∂x )
　　　　　　　　　　　 - ( ∂( Ez・vdzy ) / ∂y )

となります。
磁界Hが電界Eに、磁力線の速度vbが電気力線の速度vdに置き換わるだけです。
これらの式を、順に、（３・６・４）式、（３・６・５）式、（３・６・６）式
とします。

以上で、『力線の連続の式』は全て出揃いました。
これら（３・６・１）〜（３・６・６）式と、以前述べた電磁誘導や磁電誘導の
式、

　{E} = -{vb}×{B}　　　　　　　　　　　 （１・１）

　{H} = {vd}×{D}　　　　　　　　　　　　（１・２）

とから、下記のマックスウェル方程式、

　rot {E} = - ∂{B} / ∂t　　　　　　　　（２・１）

　rot {H} = ∂{D} / ∂t　　　　　　　　　（２・２ａ）

を導くことができます。
なお、この導出は、あまりにも煩雑になるので省略します。
その代わりに、もっと簡単な問題の形で取り上げようと思います。

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