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Ｎ┃→ 仮想力線電磁気学
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●第３９回 第３章・力線の理論（その７）
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当メールマガジンを御購読いただき、誠にありがとうございます。
前回に引き続き、力線の理論からマックスウェル方程式を導く話をします。
今回から『力線の連続の式』について説明します。
図（絵文字）があるので、等幅フォントで御覧下さい。
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21．入ってくる数
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『力線の連続の式』を導くためには、まず、単位時間あたりに領域に入ってくる
力線の本数を求めなければなりません。
そこで、今回は、その導出法を、よりわかりやすいたとえの問題を用いて説明し
ようと思います。
まず、次のような問題を考えてみましょう。
下図のように片側（左側）が解放された倉庫を考えます。
━━┓
┃
━━┛
そして、左側から人が一列に等間隔に並んで、倉庫の中に入ってくる状況を考え
ます。
ｖ
→ ━━┓
・・・・・・ ┃
━━┛
ここで、『・』は人を表すとします。
また、全ての人は、左側に向かって、同じ速度ｖで移動しているとします。
そこで、問題ですが、単位時間あたりに、この倉庫に入ってくる人の数は、いく
らでしょうか？
それを考えるために、今、人と同じ速度で移動するロープを考えてみましょう。
ｖ
→ ━━┓
────── ┃
━━┛
ロープは速度ｖで移動しています。
したがって、単位時間あたりに倉庫の中に入ってくるロープの長さは、
ｖ・１ = ｖ
となりますね。
そこで、先ほどの人の問題に戻って、単位長さあたりにどれだけの人がいるか？
ということを考えます。
人と人との間隔をＬとすれば、単位長さあたりに存在する人の数ｎは、
ｎ = １ / Ｌ
となります。
一方、上で述べたロープの問題で、単位時間あたりに倉庫に入ってくるロープの
長さはｖだったわけですから、単位時間あたりに倉庫に入ってくる人の数は、
（単位長さあたりの人数）×（単位時間あたりに入ってくる長さ）＝ ｎ・ｖ
となります。
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22．複数列の場合
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さて、今度は、人が一列ではなく、下図のように複数列の問題を考えてみましょ
う。
ｖ
→
∴∵∴∵∴∵
∴∵∴∵∴∵━━┓
∴∵∴∵∴∵ ┃
∴∵∴∵∴∵━━┛
∴∵∴∵∴∵
図を見ればおわかりのように、この場合は、倉庫に入ってくる人たちと、入って
こない人たちがいます。
倉庫の左側の（入り）口の幅をＨとすれば、倉庫に入ってくる人たちは、この幅
のエリアの人たちであり、それ以外のエリアの人たちは、倉庫には入ってきませ
ん。
そこで、単位面積あたりの人の数を（改めて）ｎとし、単位時間あたりに倉庫に
入ってくる人の数を求めてみましょう。
前の一列の問題の時は『入ってくる長さ』を考えましたが、複数列のこの問題で
は、『入ってくる面積』を考えます。（『ロープ』の代わりに、『幅Ｈの絨毯』
といったものを考えるとよいでしょう。）
単位時間あたりに入ってくる長さ（横方向）は、先の問題でも示したように、ｖ
です。
一方、倉庫の（入り）口の幅は、Ｈです。
よって、単位時間あたりに入ってくる面積は、
（単位時間あたりに入ってくる長さ）×（倉庫の（入り）口の幅）＝ ｖ・Ｈ
となります。
さて、単位面積あたりの人数はｎですから、単位時間あたりに入ってくる人の数
は、
（単位面積あたりの人の数）×（単位時間あたりに入ってくる面積）
＝ ｎ・ｖ・Ｈ
となります。
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23．出入り口が二つある場合
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さて、それでは、下図のように、倉庫の出入り口が左右に一つずつ（合計二つ）
ある問題を考えましょう。
v1 v2
→ →
∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵
∴∵∴∵∴∵━━━∵∴∵
∴∵∴∵∴∵ ？ ∵∴∵
∴∵∴∵∴∵━━━∵∴∵
∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵
ここで、左側の出入り口の場所における人の速度をv1、単位面積あたりの人の数
をn1とします。
また、右側の出入り口の場所における人の速度をv2、単位面積あたりの人の数を
n2とします。
また、出入り口の幅は、左側も右側も同じＨとします。
さて、単位時間あたりに、左側の出入り口から入ってくる人の数は、
n1・v1・Ｈ
であることは、先の問題からおわかりになると思います。
一方、単位時間あたりに、右側の出入り口から入ってくる人の数は、
−n2・v2・Ｈ
となります。
符号が負になったのは、図を見ればおわかりのように、人が右側へ進めば、倉庫
から出ていくことになるからです。
前回述べたことからもわかるように、『ｎ人の人が出ていく』ということは、『
−ｎ人の人が入ってくる』ということなのです。
これらのことを考えれば、右側の出入り口で符号が負になるのも、理解できるで
しょう。
さて、以上のことから、単位時間あたりに（左右の出入り口から）倉庫に入って
くる人の総数は、
n1・v1・Ｈ − n2・v2・Ｈ
となるわけです。
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24．単位時間あたりの増加量
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さて、倉庫内の単位時間あたりの人の数の増加量は、単位時間あたりに倉庫に入
ってくる人の数に等しいことは、前回述べた話からも御理解いただけると思いま
す。
そこで、倉庫内の人の数をＮとすると、単位時間あたりの人の数の増加量は、
dＮ / dｔ
と表せますから、これまでの話から、
dＮ / dｔ ＝ n1・v1・Ｈ − n2・v2・Ｈ
となります。
さて、倉庫内の単位面積あたりの人数を（改めて）ｎとしましょう。
そして、倉庫の横幅、すなわち、左側の出入り口から右の出入り口までの距離を
Ｗとしましょう。
すると、
Ｎ ＝ ｎ・Ｈ・Ｗ
となりますから、
d(ｎ・Ｈ・Ｗ) / dｔ ＝ n1・v1・Ｈ − n2・v2・Ｈ
∴ (dｎ / dｔ)・Ｈ・Ｗ ＝ n1・v1・Ｈ − n2・v2・Ｈ
∴ (dｎ / dｔ)・Ｗ ＝ n1・v1 − n2・v2
となります。
こうして求まった式を（３・１）式としましょう。
さて、『力線の連続の式』も、この（３・１）式と同じ考え方で求まります。
つまり、『倉庫』を『（ある微小）領域』に、『人』を『力線』に、それぞれ置
き換えて考えればよいのです。
というわけで、次回は、今回述べた『たとえ』の考え方をもとに、『力線の連続
の式』を実際に導いてみます。
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